ÖRNEKLER

To many, mathematics is a collection of theorems. For me, mathematics is a collection of examples; a theorem is a statement about a collection of examples and the purpose of proving theorems is to classify and explain the examples...
John B. Conway
The only way to learn mathematics is to do mathematics. A good stock of examples, as large as possible, is indispensable for a thorough understanding of any concept, and when I want to learn something new, I make it my first job to build one.
Paul Halmos

Matematiksel kavramları ve sonuçları anlamanın en iyi yollarından birisi örnekler üzerinde çalışmaktır, özellikle tamamen soyut kavramlar bu yolla zihinde daha kolay canlandırılabilir. Bazen çarpıcı bir örnek ile bir çok şey değişebilir, tarih boyunca çok kez doğru bilinen sonuçlar aksine örneklerle çürütülmüştür. Bu sayfada size bazı kavramlar üzerine dikkat çeken bazı örnekleri göstereceğim, bunların çoğu aşikar olmayan durumlara işaret ettiğinden literatürde aksine örnekler (counterexample) olarak adlandırılır.

Kendileri İntegrallenebilir Olup Bileşkeleri İntegrallenemeyen Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonların bileşkeleri (belirli koşullar altında) süreklidir, dolayısıyla bunların bileşkeleri integrallenebilirdir. Fakat bunlar sürekli değilse, integrallenebilir olsalar bile, bileşkeleri integrallenebilir olmak zorunda değildir.

Anahtar Kelimeler: Bileşke Fonksiyon · Integral

Kendileri Sınırlı Olup Limiti Sınırlı Olmayan Bir Fonksiyon Dizisi [Analiz]

Özet: Sınırlı fonksiyonların düzgün yakınsak bir dizisi sınırlı (hatta düzgün sınırlı) bir limite sahip olur. Burada yakınsamadaki düzgünlük kaldırılamaz, buna bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Sınırlılık · Düzgün Yakınsaklık · Sınırlı Fonksiyon · Sınırlılık · Sınırsız Fonksiyon · Yakınsaklık

Kendileri Sürekli Olmayan Fakat Çarpımları Sürekli Olan Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonların çarpımları da süreklidir, fonksiyonlardan en az birisi sürekli değilse çarpımları sürekli de olabilir süreksiz de. Hatta her iki çarpanın süreksiz olması durumunda bile çarpım sürekli olabilir.

Anahtar Kelimeler: Süreklilik

Limitlerinin Sırası Değiştirilemeyen Diziler [Analiz]

Özet: Bir dizide yakınsama düzgün değilse, farklı parametreler üzerinden ardışık olan alınan limitlerin sırası önemlidir. Bu yazıda bu duruma örnekler vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Noktasal Yakınsaklık · Yakınsaklık

Noktasal Yakınsak Olan Düzgün Sınırlı Bir Dizi [Analiz]

Özet: Sanıldığının aksine düzgün sınırlılık düzgün yakınsaklığı gerektirmez, bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Sınırlılık · Düzgün Yakınsaklık · Yakınsaklık

Paydasının Sıfır Olduğu Noktada Dikey Asimptotu Bulunmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bu durum sadece rasyonel fonksiyonlar için gerçekleşir, bunun dışındaki fonksiyonlarda gerçekleşmek zorunda değildir.

Anahtar Kelimeler: Asimptot · Dikey Asimptot · Rasyonel Fonksiyon

Paydasının Sıfır Olduğu Noktada Dikey Asimptotu Bulunmayan Rasyonel Fonksiyon [Analiz]

Özet: Rasyonel fonksiyonlar en sade halde değilse paydasının sıfır olduğu yerde dikey asimptota sahip değildir.

Anahtar Kelimeler: Asimptot · Dikey Asimptot · Rasyonel Fonksiyon

Rasyonel Kümelerde Tanımlanmış Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Tek değişkenli sürekli fonksiyonların bir çok temel özelliği reel sayıların tamlığından kaynaklanır, tamlık özelliği kaldırıldığında alışık olmadığımız bir çok durum ile karşılaşırız. Bu yazıda bunlara basit örnekler vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ara Değer Özelliği · Rasyonel Sayılar · Süreklilik

Rasyonel Sayılar Kümesinde Sürekli Olup İrrasyonel Sayılar Kümesinde Süreksiz Olan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Thomae fonksiyonu olarak da adlandırılan bu fonksiyon bahsedilen ilginç özelliğe sahiptir, ayrıca bu fonksiyon süreklilik, türev ve integral konusunda bir çok duruma aksine örnek larak gösterilir.

Sınırlı Olan Fakat Kompakt Bir Kümede Yerel Ekstremuma Sahip Olmayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bildiğiniz gibi kompakt bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta mutlak ekstremum değerlerine sahiptir, sınırlı bile olsa süreklilik olmadan her fonksiyon bu özelliği sağlamaz. Yerel ekstremumlar için bu durum daha karmaşıktır, bu örnekte kompakt bir kümede yerel esktremumu var olmayan fakat sınırlı olan bir fonksiyon tanımlayacağız.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Süreklilik

Sınırsız ve Süreksiz Fonksiyonların Sınırlı ve Sürekli Limite Sahip Olan Bir Dizisi [Analiz]

Özet: Bazen sevmediğimiz fonksiyonlar da sevdiğimiz bir fonksiyona yakınsayabilir. Burada buna bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Sınırlılık · Sınırsız Fonksiyon · Süreklilik · Süreksizlik · Yakınsaklık

Sürekli Fonksiyonların Sürekli Olmayan Limite Sahip Bir Dizisi [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonların bir dizisi düzgün yakınsak ise sürekli bir limite sahiptir. Bu örnekte noktasal yakınsamada bu özelliğin sağlanamayabileceğini göreceğiz.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Noktasal Yakınsaklık · Süreklilik · Süreksizlik · Yakınsaklık

Süreksizlik Noktlarının Kümesi Yoğun Olan İntegrallenebilir Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonlar integrallenebilir fakat bir fonksiyonun integrallenebilir olması için sürekli olması gerekli değildir, hatta çok süreksiz bir fonksiyon bile integrallenebilir. Bu yazıda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Integral

Tanım Kümesinin Tamamında Türevi Pozitif Olan Fakat Artan Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir aralık boyunca türevinin işareti pozitif olan fonksiyon bu aralıkta artandır. Bu ifadedeki aralık ifadesi değiştirilemez, bu yazıda buna basit bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Monoton Fonksiyon · Türev

Taylor Serisi Başka Bir Fonksiyona Yakınsayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Her mertebeden türevlenebilir olan ve türevleri çalışılan aralık boyunca sınırlı olan bir fonksiyonun Taylor serisi o fonksiyona yakınsaktır fakat sınırlılık koşulu kaldırılırsa farklı durumlar oluşabilir, bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Taylor Polinomu · Taylor Serisi

Tek Bir Noktada Türevlenebilir Olan Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Bu yazıda Dirichlet tipi fonksiyonlar olarak bilinen bazı özel fonksiyonları inceleyeceğiz. Süreklilik, türev ve integral anlamında bunların oldukça ilginç özellikleri vardır.

Anahtar Kelimeler: Dirichlet Fonksiyonu · Türev

Tüm Reel Sayılarda Sürekli ve Sınırlı Olan Fakat Hiç Ekstremum Noktası Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Kapalı ve sınırlı (kompakt) aralıkta sürekli olan fonksiyon bu aralıkta mutlak ekstremum değerlerini alır, buradaki sınırlılık kaldırılamaz.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Süreklilik

Tüm Reel Sayılarda Sürekli ve Sınırsız Olup İntegrali Yakınsak Olan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon tüm pozitif eksende sınırsız olsa bile bu eksende genelleştirilmiş integrali yakınsak olabilir. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Integral

Türevi Pozitif Olup Monoton Olmayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyonun türevinin işareti onun monotonluk davranışını lokal olarak belirleyemez, ancak bir aralık boyunca türevi pozitif olan fonksiyon artan olur. Tek bir noktadaki türevin işareti o noktanın hiç bir komşuluğunda monotonluk hakkında bilgi vermez.

Anahtar Kelimeler: Monoton Fonksiyon · Türev

Türevi Sürekli Olmayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon türevlenebilirse süreklidir, ama türevinin bu özelliğe sahip olması gerekmez. Bu yazıda bu duruma basit bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Süreklilik · Türev