ÖRNEKLER

To many, mathematics is a collection of theorems. For me, mathematics is a collection of examples; a theorem is a statement about a collection of examples and the purpose of proving theorems is to classify and explain the examples...
John B. Conway
The only way to learn mathematics is to do mathematics. A good stock of examples, as large as possible, is indispensable for a thorough understanding of any concept, and when I want to learn something new, I make it my first job to build one.
Paul Halmos

Matematiksel kavramları ve sonuçları anlamanın en iyi yollarından birisi örnekler üzerinde çalışmaktır, özellikle tamamen soyut kavramlar bu yolla zihinde daha kolay canlandırılabilir. Bazen çarpıcı bir örnek ile bir çok şey değişebilir, tarih boyunca çok kez doğru bilinen sonuçlar aksine örneklerle çürütülmüştür. Bu sayfada size bazı kavramlar üzerine dikkat çeken bazı örnekleri göstereceğim, bunların çoğu aşikar olmayan durumlara işaret ettiğinden literatürde aksine örnekler (counterexample) olarak adlandırılır.

Türevlenebilen Fonksiyonlardan Oluşan Fakat Türevlenemeyen Bir Fonksiyona Düzgün Yakınsayan Bir Fonksiyon Dizisi [Analiz]

Özet: Genelde türevler limit ile uyumlu değildir; örneğin türevlenebilir fonksiyonların türevlenebilir olmayan bir fonksiyona düzgün yakınsayan bir dizisi var olabilir. Bu örnekte böyle bir dizi göstereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Türev · Yakınsaklık

Türevlenebilir Olduğu Bir Noktanın Hiç Bir Komşuluğunda Türevi Sınırlı Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması o noktanın hiç bir civarında türevin sınırlı olmasını garanti etmez, türev sadece o noktada sınırlıdır. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Türevlerinin Limiti Limitlerinin Türevinden Farklı Olan Düzgün Yakınsak Bir Dizi [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon dizisi düzgün yakınsak olsa bile, oluşturan fonksiyonlar türevlenebilir olsa hatta türevlerinin dizisi yakınsak olsa bile (olmayabilir), dizinini limitinin türevi ile türevlerin limiti farklı olabilir.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Türev · Yakınsaklık

Yakınsak Olduğu Halde Terimlerinin Sırası Değiştirildiğinde Iraksak Olan Seri [Analiz]

Özet: Yakınsak bir serinin terimlerinin yerlerini değiştirdiğinizde elde ettiğiniz yeni seri yakınsak olmak zorunda değil. Bunun sağlanması için serinin mutlak yakınsak olması gerekir. Bu yazıda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Alterne Seri · Harmonik Seri · Mutlak Yakınsaklık · Şartlı Yakınsaklık · Yakınsaklık

Aritmetiğin Temel Teoreminin Sağlanmadığı Bir Tamlık Bölgesi [Cebir]

Özet: Aritmetiğin temel teoremi aslında göründüğü kadar aşikar bir sonuç değildir, bazı tamlık bölgelerinde bazı sayıların birden fazla farklı açılımı vardır. Bu yazıda bu duruma bazı örnekler vereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Aritmetiğin Temel Teoremi · Tamlık Bölgesi · Tek Çarpanlama Bölgesi

Sıralanamayan Sonsuz Bir Cisim [Cebir]

Özet: Her sıralı cismin sonsuz bir cisim olduğunu biliyoruz, yani sonlu sayıda elemanı olan bir cisim sıralanamaz. Peki sonsuz cisimlerden sıralanamayanlar da var mıdır? Bu yazıda buna basit bir örnek vereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Kompleks Sayılar · Sıralama