Rasyonel Sayılar Kümesinde Sürekli Olup İrrasyonel Sayılar Kümesinde Süreksiz Olan Fonksiyon

$f$ fonksiyonu $$f(x):=\left\{\begin{array}{rl} \frac{1}{q},\quad & x=\frac{p}{q}\;\text{en sade halde }(p,q\in\mathbb{N}),\\ 0,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlansın. Her $x_0\in(0,1)$ sayısı için $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0$ olduğunu gösterelim. Keyfi bir $\epsilon>0$ sayısı verilmiş olsun, $n$ doğal sayısını da $\frac{1}{n}\leq\epsilon$ eşitsizliğini sağlayan herhangi bir doğal sayı olarak seçelim. Şimdi şu gözlemi yapalım: $$|f(x)-0|<\epsilon$$ eşitsizliğinin sağlanamayacağı sayılar sadece $$\underbrace{\frac{1}{2},}_\text{$f(x)=\frac{1}{2}$}\;\overbrace{\frac{1}{3},\frac{2}{3},}^\text{$f(x)=\frac{1}{3}$}\;\;\underbrace{\frac{1}{4},\frac{3}{4},}_\text{$f(x)=\frac{1}{4}$}\;\overbrace{\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},}^\text{$f(x)=\frac{1}{5}$}\;\underbrace{\frac{1}{6},\frac{5}{6},}_\text{$f(x)=\frac{1}{6}$}\;\overbrace{\frac{1}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{4}{7},\frac{5}{7},\frac{6}{7},}^\text{$f(x)=\frac{1}{7}$}\;\cdots \underbrace{\frac{1}{n}\cdots \;\frac{n-1}{n}}_\text{$f(x)=\frac{1}{n}$}$$ sayılarıdır (çünkü $(n-1)/n$ sayısından sonraki $x$ sayıları için $f(x)\leq 1/(n+1)$ olacaktır). Bu sayılar ne olursa olsun sonlu sayıdadır, dolayısıyla bunlardan bir tanesi $x_0$ sayısına en yakınıdır. Bu en yakın sayı ile $x_0$ sayısı arasındaki uzaklığı $\delta$ sayısı olarak seçelim. Bu durumda $0<|x-x_0|<\delta$ özelliğindeki $x$ sayılarından hiçbirisi yukarıda sıraladığımız $$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\cdots,\frac{1}{n},\cdots,\frac{n-1}{n}$$ sayılarından birisi olamaz (çünkü bunların $x_0$'a en yakınından daha yakın sayılardan bahsediyoruz). Dolayısıyla $0<|x-x_0|<\delta$ özelliğindeki her $x$ sayısı için $|f(x)-0|<\epsilon$ eşitsizliği sağlanır.

Sonuç olarak bu fonksiyonun tüm rasyonel sayıların kümesinde sürekli olduğu ve irrasyonel sayılar kümesinde süreksiz olduğu anlaşılmış olur.